Đề ôn tập số 5

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG Toán 9

Bài 1. 

  1. Cho $x$, $y$ là các số không âm thoả mãn $x+y=4$. Chứng minh rằng $x^2 y^2 \left(x^2+y^2\right) \le 128$ .

  2. Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thoả mãn $a b c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$A=\frac{a}{2 a^2+b^2+3}+\frac{b}{2 b^2+c^2+3}+\frac{c}{2 c^2+a^2+3}.$$

  3. Cho $x$, $y$ là các số thực dương thoả mãn $x+y\ge 6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$T=\sqrt{19+x^2 y^2} \cdot\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right).$$

Bài 2.

  1. Chứng minh rằng nếu $a$ là số nguyên tố lớn hơn $5$ thì $a^{2020}-1$ chia hết cho $240$. 
  2. Tìm các số nguyên $x$ sao cho $A=x(x-1)(x-7)(x-8)$ là một số chính phương.
Bài 3. Giải các phương trình sau:
  1. $\sqrt{x-1}+\sqrt{7 x+1}=\sqrt{14 x-6}$.
  2. $x^2-x-4=2 \sqrt{x-1}(1-x)$.
  3. $9 x^2=\left(x^2+x-5\right)\left(\sqrt{3 x+1}-1\right)^2$.

Bài 4. 
  1. Cho các số thực dương $x$, $y$, $z$ thoả mãn $x+y+z=3$. Chứng minh rằng $$\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x} \leq 3 \sqrt{2} .$$
  2. Cho các số thực dương $a$, $b$, $c$, $d$. Chứng minh rằng $$\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+d^2}+\frac{d^3}{d^2+a^2} \geq \frac{a+b+c+d}{2}.$$
Bài 5. 
  1. Cho số thực $x=\sqrt[3]{8+\sqrt{37}}+\sqrt[3]{8-\sqrt{37}}$. Tính giá trị của biểu thức $T=\dfrac{x^4-x^3+14 x^2-7 x+16}{x^4+x^3+2 x^2-25 x-16}$.
  2. Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $x=y=z$ nếu $$x\left(x^{2023}+y^{2023}\right)=y\left(y^{2023}+z^{2023}\right)=z\left(z^{2003}+x^{2023}\right).$$
Bài 6. Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực thoả mãn $(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{y}+\sqrt{z})(\sqrt{z}+\sqrt{x})=1$. Tính giá trị của biểu thức
$$P=\frac{\sqrt{y}-\sqrt{z}}{x(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+1+\sqrt{x y z}}+\frac{\sqrt{z}-\sqrt{x}}{y(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+1+\sqrt{x y z}}+\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{z(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+1+\sqrt{x y z}}.$$
Bài 7. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x ; y)$ thoả mãn $(x+y)\left(y^2+x-y\right)+x(y-1)=10$.
Bài 8. Giải phương trình $\sqrt{2x^2+5x-3}+2x^2=x\left(\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1}\right)$. 
Bài 9. Cho hai số tự nhiên $a$ và $b$ thoả mãn điều kiện $a^2+a=2b^2+b$. Chứng minh rằng $a-b$ và $a+b+1$ là các số chính phương. 
Bài 10. Cho $P=\overline{a b c}$ là số nguyên tố có ba chữ số. Chứng minh rằng phương trình $a x^2+b x+c=0$ không có nghiệm hữu tỉ.

Nhận xét

Đăng nhận xét

Bài đăng phổ biến từ blog này

Đề ôn tập số 1

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG Toán 9 Bài 1 . Với $a>0$, $b>0$ và $ a+b \leq 1 $, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $$S= \dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+a}+\dfrac{1}{a+b}.$$ Bài 2 . Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta_1 \colon y=2x-1$, $\Delta_2 \colon y=3x+1$. Một đường thẳng $d_m \colon y=m$ với $m$ thay đổi cắt $\Delta_1$, $\Delta_2$ lần lượt tại $A$, $B$. Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi thì trung điểm của đoạn $AB$ luôn di động trên một đường thẳng cố định.  Bài 3 . Cho ba số tự nhiên $a$, $b$, $c$ thay đổi và luôn thoả mãn $7 a+2 b-5 c$ chia hết cho $11$. Chứng minh rằng $3 a-7 b+12 c$ cũng chia hết cho $11$. Bài 4 . Gọi $I$ là điểm nằm trong tam giác ${ABC}$, các đường thẳng ${AI}$, ${BI}$, ${CI}$ lần lượt cắt ${BC}$, ${CA}$, ${AB}$ theo thứ tự tại các điểm ${M}$, $N$, $P$. Chứng minh rằng $\dfrac{{AI}}{{IM}}=\dfrac{{AN}}{{NC}}+\dfrac{{AP}}{{PB}}$. Bài 5. Cho hình vuông $A B C D$ có $M$ là một điểm thay đổi tuỳ ý trên đường chéo $B D$. Gọ
Đọc thêm

Đề ôn tập số 2

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG Toán 9 Bài 1. Cho biết $n=\dfrac{\sqrt 5 - 1}{2}$ và $x=\left(n^{11}+n^{10} -n^9+1\right)^{2022}+\dfrac{\left(n^2+n-4\right)^{2022}}{n^{15}+n^{14}-n^{13}+3^{2022}}$. Tính giá trị của biểu thức $$H=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{x-\sqrt{x}+1}{2 \sqrt{x}-x}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{x-5}{x-\sqrt{x}-2}\right).$$ Bài 2. Giải phương trình $\dfrac{x^2}{2+\sqrt{4-x^2}}+\dfrac{1}{8-4 \sqrt{4-x^2}}=1$. Bài 3.  Cho các số dương $a$, $b$, $c$ thay đổi nhưng luôn thoả mãn ${a}+{b}+{c}=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $$T = \dfrac{1}{2+4a} + \dfrac{1}{3+9b} + \dfrac{1}{6+36c}.$$ Bài 4. Tìm các số nguyên $x$, $y$ thoả mãn $5 x^2+2 y^2 \leq 2 x y+4 x+2 y$. Bài 5.  Tìm tất cả các số nguyên tố ${p}$ có dạng ${p}={a}^2+{b}^2+{c}^2$, trong đó ${a}$, ${b}$, ${c}$ là các số nguyên dương thoả mãn $\left({a}^4+{b}^4+{c}^4\right)$ chia hết cho ${p}$. Bài 6.  Cho hình vuông $MNPQ$. Gọi ${A}$ là điểm bất kì trên cạnh ${
Đọc thêm