Toluen 09

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi chọn HSG Toán 9  Bài 1. Cho tam giác $A B C$ có $A B=c$, $B C=a$, $C A=b$ và nửa chu vi là $p$. $D$ là điểm trên cạnh $B C$ sao cho bán kính hai đường tròn nội tiếp các tam giác $A B D$ và $A C D$ bằng nhau. Chứng minh rằng $A D=\sqrt{p(p-a)}$.  Bài 2. Cho tam giác $A B C$ ngoại tiếp $(O)$ có $A B=c$, $B C=a$, $C A=b$. Gọi $D$, $E$, $F$ là tiếp điểm của $A B$, $B C$, $C A$ vơi $(O)$. $ED$ và $E F$ cắt đường thẳng qua $A$ song song với $B C$ tại $G$ và $H$. Tính $\dfrac{D C}{D E}$ theo $a$, $b$, $c$. Chứng minh rằng $GF$, $HD$ và $EO$ đồng quy. Biết $EO$ cắt $GH$ tại $Q$, chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác $D F Q$ thuộc $(O)$. Bài 3. Cho tam giác $A B C$ nhọn, các đường cao ${BE}$ và ${CF}$ cắt nhau tại ${H}$. Trên tia đối của tia ${EB}$ lấy điểm ${P}$, trên tia đối của tia ${FC}$ lấy điểm ${Q}$ sao cho $\widehat{A P C}=\widehat{A Q B}=90^{\circ}$. Chứng minh rằng tam giác $A P Q$ cân tại ${A}$. Gọi ${I}$ là trung điểm của ${BC}$. Đ

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG Toán 9 Bài 1. Giải phương trình  $x^2+3 x=(x+3) \sqrt{x^2+1}-1$.  Bài 2.   Cho $a$, $b$ là số hữu tỉ dương thoả mãn  $$\left(a^2+b^2-2\right)(a+b)^2+(1-a b)^2=-4 a b.$$  Chứng minh rằng $\sqrt{1+a b}$ là số hữu tỉ. Bài 3.   Với $a$, $b$ là các số nguyên, chứng minh rằng nếu $4 a^2+3 a b-11 b^2$ chia hết cho $5$ thì $a^4-b^4$ chia hết cho $5$. Bài 4.   Cho hình vuông $A B C D$ điểm $N$ trên cạnh $A B$. Gọi $E$ là giao điểm của $C N$ và $DA$. Kẻ tia ${Cx}$ vuông góc với ${CE}$ cắt ${AB}$ tại ${F}$, ${M}$ là trung điểm của đoạn thẳng ${EF}$.  Chứng minh rằng $CE=CF$ và $\widehat{ACE}=\widehat{BCM}$. Chứng minh rằng khi điểm ${N}$ di chuyển trên cạnh ${AB}$ (${N}$ không trùng với ${A}$ và ${B}$) thì ${M}$ chuyển động trên một đường thẳng cố định. Bài 5.  Cho $x$, $y$ là các số thực dương thay đổi thoả mãn $x+y \leq 1$. Chứng minh rằng $$8\left(x^4+y^4\right)+\frac{1}{x y} \geq 5.$$ Bài 6.   Cho $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu $2 n

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG Toán 9 Bài 1. Cho biết $n=\dfrac{\sqrt 5 - 1}{2}$ và $x=\left(n^{11}+n^{10} -n^9+1\right)^{2022}+\dfrac{\left(n^2+n-4\right)^{2022}}{n^{15}+n^{14}-n^{13}+3^{2022}}$. Tính giá trị của biểu thức $$H=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{x-\sqrt{x}+1}{2 \sqrt{x}-x}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{x-5}{x-\sqrt{x}-2}\right).$$ Bài 2. Giải phương trình $\dfrac{x^2}{2+\sqrt{4-x^2}}+\dfrac{1}{8-4 \sqrt{4-x^2}}=1$. Bài 3.  Cho các số dương $a$, $b$, $c$ thay đổi nhưng luôn thoả mãn ${a}+{b}+{c}=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $$T = \dfrac{1}{2+4a} + \dfrac{1}{3+9b} + \dfrac{1}{6+36c}.$$ Bài 4. Tìm các số nguyên $x$, $y$ thoả mãn $5 x^2+2 y^2 \leq 2 x y+4 x+2 y$. Bài 5.  Tìm tất cả các số nguyên tố ${p}$ có dạng ${p}={a}^2+{b}^2+{c}^2$, trong đó ${a}$, ${b}$, ${c}$ là các số nguyên dương thoả mãn $\left({a}^4+{b}^4+{c}^4\right)$ chia hết cho ${p}$. Bài 6.  Cho hình vuông $MNPQ$. Gọi ${A}$ là điểm bất kì trên cạnh ${

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG Toán 9 Bài 1 . Với $a>0$, $b>0$ và $ a+b \leq 1 $, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $$S= \dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+a}+\dfrac{1}{a+b}.$$ Bài 2 . Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta_1 \colon y=2x-1$, $\Delta_2 \colon y=3x+1$. Một đường thẳng $d_m \colon y=m$ với $m$ thay đổi cắt $\Delta_1$, $\Delta_2$ lần lượt tại $A$, $B$. Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi thì trung điểm của đoạn $AB$ luôn di động trên một đường thẳng cố định.  Bài 3 . Cho ba số tự nhiên $a$, $b$, $c$ thay đổi và luôn thoả mãn $7 a+2 b-5 c$ chia hết cho $11$. Chứng minh rằng $3 a-7 b+12 c$ cũng chia hết cho $11$. Bài 4 . Gọi $I$ là điểm nằm trong tam giác ${ABC}$, các đường thẳng ${AI}$, ${BI}$, ${CI}$ lần lượt cắt ${BC}$, ${CA}$, ${AB}$ theo thứ tự tại các điểm ${M}$, $N$, $P$. Chứng minh rằng $\dfrac{{AI}}{{IM}}=\dfrac{{AN}}{{NC}}+\dfrac{{AP}}{{PB}}$. Bài 5. Cho hình vuông $A B C D$ có $M$ là một điểm thay đổi tuỳ ý trên đường chéo $B D$. Gọ