Đề ôn tập số 4

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi chọn HSG Toán 9 

Bài 1. Cho tam giác $A B C$ có $A B=c$, $B C=a$, $C A=b$ và nửa chu vi là $p$. $D$ là điểm trên cạnh $B C$ sao cho bán kính hai đường tròn nội tiếp các tam giác $A B D$ và $A C D$ bằng nhau. Chứng minh rằng $A D=\sqrt{p(p-a)}$. 

Bài 2. Cho tam giác $A B C$ ngoại tiếp $(O)$ có $A B=c$, $B C=a$, $C A=b$. Gọi $D$, $E$, $F$ là tiếp điểm của $A B$, $B C$, $C A$ vơi $(O)$. $ED$ và $E F$ cắt đường thẳng qua $A$ song song với $B C$ tại $G$ và $H$.

  1. Tính $\dfrac{D C}{D E}$ theo $a$, $b$, $c$.
  2. Chứng minh rằng $GF$, $HD$ và $EO$ đồng quy.
  3. Biết $EO$ cắt $GH$ tại $Q$, chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác $D F Q$ thuộc $(O)$.
Bài 3. Cho tam giác $A B C$ nhọn, các đường cao ${BE}$ và ${CF}$ cắt nhau tại ${H}$. Trên tia đối của tia ${EB}$ lấy điểm ${P}$, trên tia đối của tia ${FC}$ lấy điểm ${Q}$ sao cho $\widehat{A P C}=\widehat{A Q B}=90^{\circ}$.
  1. Chứng minh rằng tam giác $A P Q$ cân tại ${A}$.
  2. Gọi ${I}$ là trung điểm của ${BC}$. Đường thẳng qua ${H}$ và vuông góc với ${HI}$ cắt ${AB}$, ${AC}$ lần lượt tại ${M}$, ${N}$. Chứng minh rằng ${HM}={HN}$.
  3. Gọi ${O}$ là giao điểm các đường phân giác của tam giác $A B C$. Chứng minh rằng $$\frac{O A}{\sqrt{b c}}+\frac{O B}{\sqrt{ca}}+\frac{O C}{\sqrt{a b}}+\frac{a b c}{O A \cdot O B \cdot O C} \geq 4 \sqrt{3}$$ với $A B=c$, $A C=b$, $B C=a$.
Bài 4. Cho tam giác $A B C$ có ba góc nhọn, vẽ đường cao $A D$ và $B E$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $A B C$.
  1. Chứng minh rằng $A D \cdot D H=D B \cdot D C$ và $\tan B \cdot \tan C=\dfrac{A D}{H D}$.
  2. Gọi $a$, $b$, $c$ lần lượt là độ dài các cạnh $B C$, $C A$, $A B$ của tam giác $A B C$. Chứng minh rằng $\sin \dfrac{A}{2} \leq \dfrac{a}{2 \sqrt{b c}}$.
Bài 5. Cho hình vuông ${ABCD}$ có ${AB}={a}$, ${P}$ và ${Q}$ lần lượt là thuộc các cạnh ${AB}$, ${AD}$ sao cho $\widehat{P C Q}=45^{\circ}$. Chứng minh rằng chu vi tam giác ${APQ}$ bằng $2{a}$.
Bài 6. Cho tam giác ${ABC}$ cân tại ${A}$, nhọn, ${H}$ là trực tâm. Gọi ${E}$ là trung điểm của ${AC}$. Lấy ${D}$ trên ${BC}$ sao cho ${BC}=3CD$. Chứng minh ${BE} \perp {HD}$.
Bài 7. Cho tam giác $A B C$ vuông cân tại $A$ và $M$ là điểm di động trên đường thẳng $B C$ ($M$ khác ${B}$, ${C}$). Hình chiếu của $M$ trên các đường thẳng $A B$ và $A C$ tương ứng là $H$ và $K$. Gọi $I$ là giao điểm các đường thẳng ${CH}$ và ${BK}$. Chứng minh rằng các đường thẳng $MI$ luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 8. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ ($A B<A C$), kẻ đường cao $A H$ của tam giác $A B C$. Gọi $D$ và $E$ là hình chiếu của $H$ trên $A B$ và $A C$.
  1. Cho $A B=6$ và $H C=6{,}4$. Tính $B C$ và $A C$.
  2. Chứng minh rằng $D E^3=B C \cdot B D \cdot C E$.
  3. Đường thẳng qua $B$ vuông góc với $B C$ cắt $H D$ tại $M$. Đường thẳng qua $C$ vuông góc với $B C$ cắt $H E$ tại $N$. Chứng minh rằng ba điểm $M$, $A$, $N$ thẳng hàng.

Nhận xét

Đăng nhận xét

Bài đăng phổ biến từ blog này

Đề ôn tập số 1

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG Toán 9 Bài 1 . Với $a>0$, $b>0$ và $ a+b \leq 1 $, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $$S= \dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+a}+\dfrac{1}{a+b}.$$ Bài 2 . Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta_1 \colon y=2x-1$, $\Delta_2 \colon y=3x+1$. Một đường thẳng $d_m \colon y=m$ với $m$ thay đổi cắt $\Delta_1$, $\Delta_2$ lần lượt tại $A$, $B$. Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi thì trung điểm của đoạn $AB$ luôn di động trên một đường thẳng cố định.  Bài 3 . Cho ba số tự nhiên $a$, $b$, $c$ thay đổi và luôn thoả mãn $7 a+2 b-5 c$ chia hết cho $11$. Chứng minh rằng $3 a-7 b+12 c$ cũng chia hết cho $11$. Bài 4 . Gọi $I$ là điểm nằm trong tam giác ${ABC}$, các đường thẳng ${AI}$, ${BI}$, ${CI}$ lần lượt cắt ${BC}$, ${CA}$, ${AB}$ theo thứ tự tại các điểm ${M}$, $N$, $P$. Chứng minh rằng $\dfrac{{AI}}{{IM}}=\dfrac{{AN}}{{NC}}+\dfrac{{AP}}{{PB}}$. Bài 5. Cho hình vuông $A B C D$ có $M$ là một điểm thay đổi tuỳ ý trên đường chéo $B D$. Gọ
Đọc thêm

Đề ôn tập số 2

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG Toán 9 Bài 1. Cho biết $n=\dfrac{\sqrt 5 - 1}{2}$ và $x=\left(n^{11}+n^{10} -n^9+1\right)^{2022}+\dfrac{\left(n^2+n-4\right)^{2022}}{n^{15}+n^{14}-n^{13}+3^{2022}}$. Tính giá trị của biểu thức $$H=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{x-\sqrt{x}+1}{2 \sqrt{x}-x}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{x-5}{x-\sqrt{x}-2}\right).$$ Bài 2. Giải phương trình $\dfrac{x^2}{2+\sqrt{4-x^2}}+\dfrac{1}{8-4 \sqrt{4-x^2}}=1$. Bài 3.  Cho các số dương $a$, $b$, $c$ thay đổi nhưng luôn thoả mãn ${a}+{b}+{c}=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $$T = \dfrac{1}{2+4a} + \dfrac{1}{3+9b} + \dfrac{1}{6+36c}.$$ Bài 4. Tìm các số nguyên $x$, $y$ thoả mãn $5 x^2+2 y^2 \leq 2 x y+4 x+2 y$. Bài 5.  Tìm tất cả các số nguyên tố ${p}$ có dạng ${p}={a}^2+{b}^2+{c}^2$, trong đó ${a}$, ${b}$, ${c}$ là các số nguyên dương thoả mãn $\left({a}^4+{b}^4+{c}^4\right)$ chia hết cho ${p}$. Bài 6.  Cho hình vuông $MNPQ$. Gọi ${A}$ là điểm bất kì trên cạnh ${
Đọc thêm

Đề ôn tập số 5

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG Toán 9 Bài 1.   Cho $x$, $y$ là các số không âm thoả mãn $x+y=4$. Chứng minh rằng $x^2 y^2 \left(x^2+y^2\right) \le 128$ . Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thoả mãn $a b c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$A=\frac{a}{2 a^2+b^2+3}+\frac{b}{2 b^2+c^2+3}+\frac{c}{2 c^2+a^2+3}.$$ Cho $x$, $y$ là các số thực dương thoả mãn $x+y\ge 6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $$T=\sqrt{19+x^2 y^2} \cdot\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right).$$ Bài 2. Chứng minh rằng nếu $a$ là số nguyên tố lớn hơn $5$ thì $a^{2020}-1$ chia hết cho $240$.  Tìm các số nguyên $x$ sao cho $A=x(x-1)(x-7)(x-8)$ là một số chính phương. Bài 3. Giải các phương trình sau: $\sqrt{x-1}+\sqrt{7 x+1}=\sqrt{14 x-6}$. $x^2-x-4=2 \sqrt{x-1}(1-x)$. $9 x^2=\left(x^2+x-5\right)\left(\sqrt{3 x+1}-1\right)^2$. Bài 4.   Cho các số thực dương $x$, $y$, $z$ thoả mãn $x+y+z=3$. Chứng minh rằng $$\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x} \leq 3 \sqrt{2} .$$ Cho các số thực dương $a$, $b$,
Đọc thêm