Đề ôn tập số 1

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG Toán 9

Bài 1. Với $a>0$, $b>0$ và $ a+b \leq 1 $, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$$S= \dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+a}+\dfrac{1}{a+b}.$$

Bài 2. Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta_1 \colon y=2x-1$, $\Delta_2 \colon y=3x+1$. Một đường thẳng $d_m \colon y=m$ với $m$ thay đổi cắt $\Delta_1$, $\Delta_2$ lần lượt tại $A$, $B$. Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi thì trung điểm của đoạn $AB$ luôn di động trên một đường thẳng cố định. 

Bài 3. Cho ba số tự nhiên $a$, $b$, $c$ thay đổi và luôn thoả mãn $7 a+2 b-5 c$ chia hết cho $11$. Chứng minh rằng $3 a-7 b+12 c$ cũng chia hết cho $11$.

Bài 4. Gọi $I$ là điểm nằm trong tam giác ${ABC}$, các đường thẳng ${AI}$, ${BI}$, ${CI}$ lần lượt cắt ${BC}$, ${CA}$, ${AB}$ theo thứ tự tại các điểm ${M}$, $N$, $P$. Chứng minh rằng $\dfrac{{AI}}{{IM}}=\dfrac{{AN}}{{NC}}+\dfrac{{AP}}{{PB}}$.

Bài 5. Cho hình vuông $A B C D$ có $M$ là một điểm thay đổi tuỳ ý trên đường chéo $B D$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $AB$, $AD$.

1. Chứng minh ba đường thẳng ${DE}$, ${BF}$, ${CM}$ đồng quy.
2. Xác định vị trí điểm ${M}$ trên ${BD}$ để diện tích tứ giác $AEMF$ lớn nhất.

Bài 6. Cho $x$, $y$ là hai số dương thay đổi và thoả mãn điều kiện $x^2+y^2=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$B=\left(x+\dfrac{1}{y}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{x}\right)^2.$$

Bài 7. Tìm các số nguyên $x$, $y$ thoả mãn điều kiện $(y+3) x^{2022}-y^2-6 y-8=0$.

Bài 8. Chứng minh rằng nếu $a$, $b$, $c$ là các số hữu tỉ và $a\sqrt 2 + b\sqrt 3 + c\sqrt 5 = 0$ thì $a=b=c=0$. 

Toluen09 (Sưu tầm).