Đề ôn tập số 3

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG Toán 9

Bài 1. Giải phương trình $x^2+3 x=(x+3) \sqrt{x^2+1}-1$. 

Bài 2. Cho $a$, $b$ là số hữu tỉ dương thoả mãn 

$$\left(a^2+b^2-2\right)(a+b)^2+(1-a b)^2=-4 a b.$$ Chứng minh rằng $\sqrt{1+a b}$ là số hữu tỉ.

Bài 3. Với $a$, $b$ là các số nguyên, chứng minh rằng nếu $4 a^2+3 a b-11 b^2$ chia hết cho $5$ thì $a^4-b^4$ chia hết cho $5$.

Bài 4. Cho hình vuông $A B C D$ điểm $N$ trên cạnh $A B$. Gọi $E$ là giao điểm của $C N$ và $DA$. Kẻ tia ${Cx}$ vuông góc với ${CE}$ cắt ${AB}$ tại ${F}$, ${M}$ là trung điểm của đoạn thẳng ${EF}$. 

1. Chứng minh rằng $CE=CF$ và $\widehat{ACE}=\widehat{BCM}$.
2. Chứng minh rằng khi điểm ${N}$ di chuyển trên cạnh ${AB}$ (${N}$ không trùng với ${A}$ và ${B}$) thì ${M}$ chuyển động trên một đường thẳng cố định.

Bài 5. Cho $x$, $y$ là các số thực dương thay đổi thoả mãn $x+y \leq 1$. Chứng minh rằng $$8\left(x^4+y^4\right)+\frac{1}{x y} \geq 5.$$

Bài 6. Cho $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu $2 n+1$ và $3 n+1$ là các số chính phương thì $5 n+3$ không phải là số nguyên tố.

Bài 7. Cho tam giác ${ABC}$ vuông tại ${A}$ có đường cao ${AH}$ (${AB}<{AC}$ và ${H} \in {BC}$). Trên tia ${HC}$ lấy điểm ${D}$ sao cho ${HA}={HD}$. Qua ${D}$ kẻ đường thẳng vuông góc với ${BC}$ cắt ${AC}$ tại $E$.

1. Chứng minh rằng các tam giác ${BEC}$ và ${ADC}$ đồng dạng, từ đó suy ra số đo góc $\widehat{AEB}$.
2. Gọi $M$ là trung điểm của $B E$. Tính số đo góc $\widehat{A H M}$.
3. Tia ${AM}$ cắt ${BC}$ tại ${G}$. Chứng minh $\dfrac{{GB}}{{BC}}=\dfrac{{HD}}{{AH}+{HC}}$.

Bài 8. Cho tam giác ${ABC}$ nhọn (${AB}<{AC}$) nội tiếp đường tròn $({O})$, hai đường cao ${BE}$, ${CF}$ cắt nhau tại ${H}$. Tia ${AO}$ cắt đường tròn $({O})$ tại ${D}$.

1. Chứng minh các điểm ${B}$, ${C}$, ${E}$, ${F}$ thuộc một đường tròn.
2. Gọi ${M}$ là trung điểm của ${BC}$, tia ${AM}$ cắt ${HO}$ tại ${G}$. Chứng minh rằng ${G}$ là trọng tâm của tam giác ${ABC}$.

Toluen09 (Sưu tầm).