Đề HSG Toán 9 tỉnh Phú Yên (2021 - 2022)

Đề thi HSG Toán 9 tỉnh Phú Yên (năm học 2021 - 2022)

Câu 1 (3,00 điểm). Cho biểu thức $P=\left(\dfrac{2 x+\sqrt{x}-1}{1-x}+\dfrac{2 x \sqrt{x}+x-\sqrt{x}}{1+x \sqrt{x}}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}-1\right)$.

  1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức $P$.
  2. Tìm $x$ thoả mãn $\sqrt{\dfrac{1}{P}-\sqrt{x}}=\frac{1}{2}$.

Câu 2 (3,00 điểm). Giải phương trình $x+\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}}=1$.

Câu 3 (3,00 điểm). Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực thoả mãn $x+y+z=0$. Chứng minh rằng $$\frac{\left(x y+2 z^2\right)\left(y z+2 x^2\right)\left(z x+2 y^2\right)}{\left(2 x y^2+2 y z^2+2 z x^2+3 x y z\right)^2}=-1.$$

Câu 4 (4,00 điểm). Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$, đường cao $A H$. Trên cạnh $A C$ lấy điểm $D$ sao cho $A C=3 A D$; trên tia đối của tia $H A$ lấy điểm $E$ sao cho $H A=3 H E$. Gọi $F$ là giao điểm của $E D$ và $B C$.

  1. Tính tỉ số $\dfrac{H F}{H C}$.
  2. Chứng minh rằng $\dfrac{D C}{D F}=\sqrt{\dfrac{B C}{B F}}$.

Câu 5 (4,00 điểm). Cho tam giác nhọn $A B C$ ($A B<A C$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường kính $A D$ cắt $B C$ tại $E$. Gọi $M$, $N$ tương ứng là các điểm trên cạnh $A B$, $A C$ thoả mãn $E M=E B$, $E N=E C$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt $E M$, $E N$ tương ứng tại $P$, $Q$.
  1. Chứng minh rằng $A P=A Q$.
  2. Gọi $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu của $B$, $C$ lên $A D$. Chứng minh $M P \cdot A K=N Q \cdot A H$.
Câu 6 (3,00 điểm). Cho hai số dương $x$, $y$ thoả mãn $x+y=1$.
  1. Chứng minh rằng $\sqrt{x}+\sqrt{y} \leq \sqrt{2}$.
  2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=\dfrac{x+2 y}{\sqrt{1-x}}+\dfrac{y+2 x}{\sqrt{1-y}}$.

Nhận xét

Đăng nhận xét

Bài đăng phổ biến từ blog này

Đề ôn tập số 1

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG Toán 9 Bài 1 . Với $a>0$, $b>0$ và $ a+b \leq 1 $, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $$S= \dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+a}+\dfrac{1}{a+b}.$$ Bài 2 . Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta_1 \colon y=2x-1$, $\Delta_2 \colon y=3x+1$. Một đường thẳng $d_m \colon y=m$ với $m$ thay đổi cắt $\Delta_1$, $\Delta_2$ lần lượt tại $A$, $B$. Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi thì trung điểm của đoạn $AB$ luôn di động trên một đường thẳng cố định.  Bài 3 . Cho ba số tự nhiên $a$, $b$, $c$ thay đổi và luôn thoả mãn $7 a+2 b-5 c$ chia hết cho $11$. Chứng minh rằng $3 a-7 b+12 c$ cũng chia hết cho $11$. Bài 4 . Gọi $I$ là điểm nằm trong tam giác ${ABC}$, các đường thẳng ${AI}$, ${BI}$, ${CI}$ lần lượt cắt ${BC}$, ${CA}$, ${AB}$ theo thứ tự tại các điểm ${M}$, $N$, $P$. Chứng minh rằng $\dfrac{{AI}}{{IM}}=\dfrac{{AN}}{{NC}}+\dfrac{{AP}}{{PB}}$. Bài 5. Cho hình vuông $A B C D$ có $M$ là một điểm thay đổi tuỳ ý trên đường chéo $B D$. Gọ
Đọc thêm

Đề ôn tập số 2

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG Toán 9 Bài 1. Cho biết $n=\dfrac{\sqrt 5 - 1}{2}$ và $x=\left(n^{11}+n^{10} -n^9+1\right)^{2022}+\dfrac{\left(n^2+n-4\right)^{2022}}{n^{15}+n^{14}-n^{13}+3^{2022}}$. Tính giá trị của biểu thức $$H=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{x-\sqrt{x}+1}{2 \sqrt{x}-x}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{x-5}{x-\sqrt{x}-2}\right).$$ Bài 2. Giải phương trình $\dfrac{x^2}{2+\sqrt{4-x^2}}+\dfrac{1}{8-4 \sqrt{4-x^2}}=1$. Bài 3.  Cho các số dương $a$, $b$, $c$ thay đổi nhưng luôn thoả mãn ${a}+{b}+{c}=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $$T = \dfrac{1}{2+4a} + \dfrac{1}{3+9b} + \dfrac{1}{6+36c}.$$ Bài 4. Tìm các số nguyên $x$, $y$ thoả mãn $5 x^2+2 y^2 \leq 2 x y+4 x+2 y$. Bài 5.  Tìm tất cả các số nguyên tố ${p}$ có dạng ${p}={a}^2+{b}^2+{c}^2$, trong đó ${a}$, ${b}$, ${c}$ là các số nguyên dương thoả mãn $\left({a}^4+{b}^4+{c}^4\right)$ chia hết cho ${p}$. Bài 6.  Cho hình vuông $MNPQ$. Gọi ${A}$ là điểm bất kì trên cạnh ${
Đọc thêm

Đề ôn tập số 5

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG Toán 9 Bài 1.   Cho $x$, $y$ là các số không âm thoả mãn $x+y=4$. Chứng minh rằng $x^2 y^2 \left(x^2+y^2\right) \le 128$ . Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thoả mãn $a b c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$A=\frac{a}{2 a^2+b^2+3}+\frac{b}{2 b^2+c^2+3}+\frac{c}{2 c^2+a^2+3}.$$ Cho $x$, $y$ là các số thực dương thoả mãn $x+y\ge 6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $$T=\sqrt{19+x^2 y^2} \cdot\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right).$$ Bài 2. Chứng minh rằng nếu $a$ là số nguyên tố lớn hơn $5$ thì $a^{2020}-1$ chia hết cho $240$.  Tìm các số nguyên $x$ sao cho $A=x(x-1)(x-7)(x-8)$ là một số chính phương. Bài 3. Giải các phương trình sau: $\sqrt{x-1}+\sqrt{7 x+1}=\sqrt{14 x-6}$. $x^2-x-4=2 \sqrt{x-1}(1-x)$. $9 x^2=\left(x^2+x-5\right)\left(\sqrt{3 x+1}-1\right)^2$. Bài 4.   Cho các số thực dương $x$, $y$, $z$ thoả mãn $x+y+z=3$. Chứng minh rằng $$\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x} \leq 3 \sqrt{2} .$$ Cho các số thực dương $a$, $b$,
Đọc thêm