Đề ôn tập số 6

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG Toán 9

Bài 1. Giải phương trình $$\dfrac{x+3}{x^2+6 x}+\dfrac{x+5}{x^2+10 x+16}=\dfrac{x+2}{x^2+4 x+3}+\dfrac{x+6}{x^2+12 x+35}.$$

Bài 2. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$, điểm $D$ trên cạnh huyền $B C$ ($D$ khác $B$, $C$). Gọi $E$ là điểm đối xứng với $D$ qua $A B$ và $G$ là giao điểm của $A B$ với $D E$. Từ giao điểm $H$ của $A B$ với $C E$, hạ đoạn thẳng $H I$ vuông góc với $B C$ tại điểm $I$. Các tia $C H$ và $I G$ cắt nhau tại điểm $K$.

  1. Gọi $F$ là điểm đối xứng của $D$ qua $A C$. Chứng minh rằng khi $D$ di dộng trên cạnh $B C$ thì đường thẳng $E F$ luôn đi qua một điểm cố định.
  2. Chứng minh rằng $B K \perp C E$.
  3. Chứng minh rằng tia $K C$ là tia phân giác của góc $\widehat{A K I}$.
Bài 3. Cho các số thực $a$, $b$, $c$ thoả mãn $$\sqrt{a+b+c-5}+\sqrt{5(a b+b c+c a)-a b c}=0.$$ Tính giá trị biểu thức $$P=a^{2023}+b^{2023}+c^{2023}.$$
Bài 4. Giải phương trình $$x^2-20 x+24+8 \sqrt{3(x-1)}=0.$$
Bài 5. Tìm các số nguyên $x$, $y$ thoả mãn điều kiện $$x^2+2 y^2+2 x y+3 y=4.$$
Bài 6. Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thay đổi thoả mãn $a^2+b^2+c^2\le 3$. Chứng minh rằng $$\dfrac{a b}{a+3 b+2 c}+\dfrac{b c}{b+3 c+2 a}+\dfrac{c a}{c+3 a+2 b} \leq \dfrac{1}{2}.$$
Bài 7. Tìm tất cả các số nguyên tố ${p}$ để $4 {p}^2+1$ và $6 {p}^2+1$ cũng là số nguyên tố.
Bài 8. Cho $x$, $y$ là các số thực thoả mãn $$\left(x+\sqrt{x^2+2020}\right)\left(y+\sqrt{y^2+2020}\right)=2021.$$ Tính giá trị của biểu thức $$M=x \sqrt{y^2+2020}+y \sqrt{x^2+2020}.$$
Bài 9. Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực không âm thoả mãn $a+b+c=5$ và $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3$. Tính giá trị của biểu thức $$T=\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}-\frac{4}{\sqrt{(a+2)(b+2)(c+2)}}.$$
Bài 10. Giải phương trình $$\sqrt{3 x+3}+\sqrt{3-x}=x+\sqrt{(3 x+3)(3-x)}-1.$$
Bài 11. Tìm các số nguyên dương $x$, $y$ thoả mãn $$x\left(y^2+1\right)=2 y(16-x).$$
Bài 12. Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thay đổi thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$T=\dfrac{a}{b^3+a b}+\dfrac{b}{c^3+b c}+\dfrac{c}{a^3+a c}.$$
Bài 13. Cho nửa đường tròn $({O} ; {R})$ đường kính ${BC}$. ${A}$ là điểm di động trên nửa đường tròn. Vẽ ${AH}$ vuông góc với ${BC}$ tại ${H}$. Đường tròn đường kính ${AH}$ cắt ${AB}$, ${AC}$ lần lượt tại ${D}$, ${E}$ và cắt $({O})$ tại điểm thứ hai ${M}$. ${AO}$ cắt ${DE}$ tại ${I}$.
  1. Tính $\dfrac{D E^3}{B {D} \cdot C E}$ theo ${R}$.
  2. Tính $\dfrac{A I}{H B}+\dfrac{A I}{H C}$.
  3. Xác định vị trí của điểm ${A}$ để diện tích tam giác ${ABH}$ lớn nhất.
Bài 14. Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực dương thay đổi. Chứng minh rằng $$\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{z}+\dfrac{\sqrt{y}+\sqrt{z}}{x}+\dfrac{\sqrt{z}+\sqrt{x}}{y} \geq \dfrac{2}{\sqrt{x}}+\dfrac{2}{\sqrt{y}}+\dfrac{2}{\sqrt{z}}.$$

Nhận xét

Đăng nhận xét

Bài đăng phổ biến từ blog này

Đề ôn tập số 1

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG Toán 9 Bài 1 . Với $a>0$, $b>0$ và $ a+b \leq 1 $, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $$S= \dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+a}+\dfrac{1}{a+b}.$$ Bài 2 . Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta_1 \colon y=2x-1$, $\Delta_2 \colon y=3x+1$. Một đường thẳng $d_m \colon y=m$ với $m$ thay đổi cắt $\Delta_1$, $\Delta_2$ lần lượt tại $A$, $B$. Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi thì trung điểm của đoạn $AB$ luôn di động trên một đường thẳng cố định.  Bài 3 . Cho ba số tự nhiên $a$, $b$, $c$ thay đổi và luôn thoả mãn $7 a+2 b-5 c$ chia hết cho $11$. Chứng minh rằng $3 a-7 b+12 c$ cũng chia hết cho $11$. Bài 4 . Gọi $I$ là điểm nằm trong tam giác ${ABC}$, các đường thẳng ${AI}$, ${BI}$, ${CI}$ lần lượt cắt ${BC}$, ${CA}$, ${AB}$ theo thứ tự tại các điểm ${M}$, $N$, $P$. Chứng minh rằng $\dfrac{{AI}}{{IM}}=\dfrac{{AN}}{{NC}}+\dfrac{{AP}}{{PB}}$. Bài 5. Cho hình vuông $A B C D$ có $M$ là một điểm thay đổi tuỳ ý trên đường chéo $B D$. Gọ
Đọc thêm

Đề ôn tập số 2

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG Toán 9 Bài 1. Cho biết $n=\dfrac{\sqrt 5 - 1}{2}$ và $x=\left(n^{11}+n^{10} -n^9+1\right)^{2022}+\dfrac{\left(n^2+n-4\right)^{2022}}{n^{15}+n^{14}-n^{13}+3^{2022}}$. Tính giá trị của biểu thức $$H=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{x-\sqrt{x}+1}{2 \sqrt{x}-x}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{x-5}{x-\sqrt{x}-2}\right).$$ Bài 2. Giải phương trình $\dfrac{x^2}{2+\sqrt{4-x^2}}+\dfrac{1}{8-4 \sqrt{4-x^2}}=1$. Bài 3.  Cho các số dương $a$, $b$, $c$ thay đổi nhưng luôn thoả mãn ${a}+{b}+{c}=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $$T = \dfrac{1}{2+4a} + \dfrac{1}{3+9b} + \dfrac{1}{6+36c}.$$ Bài 4. Tìm các số nguyên $x$, $y$ thoả mãn $5 x^2+2 y^2 \leq 2 x y+4 x+2 y$. Bài 5.  Tìm tất cả các số nguyên tố ${p}$ có dạng ${p}={a}^2+{b}^2+{c}^2$, trong đó ${a}$, ${b}$, ${c}$ là các số nguyên dương thoả mãn $\left({a}^4+{b}^4+{c}^4\right)$ chia hết cho ${p}$. Bài 6.  Cho hình vuông $MNPQ$. Gọi ${A}$ là điểm bất kì trên cạnh ${
Đọc thêm

Đề ôn tập số 5

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG Toán 9 Bài 1.   Cho $x$, $y$ là các số không âm thoả mãn $x+y=4$. Chứng minh rằng $x^2 y^2 \left(x^2+y^2\right) \le 128$ . Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thoả mãn $a b c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$A=\frac{a}{2 a^2+b^2+3}+\frac{b}{2 b^2+c^2+3}+\frac{c}{2 c^2+a^2+3}.$$ Cho $x$, $y$ là các số thực dương thoả mãn $x+y\ge 6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $$T=\sqrt{19+x^2 y^2} \cdot\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right).$$ Bài 2. Chứng minh rằng nếu $a$ là số nguyên tố lớn hơn $5$ thì $a^{2020}-1$ chia hết cho $240$.  Tìm các số nguyên $x$ sao cho $A=x(x-1)(x-7)(x-8)$ là một số chính phương. Bài 3. Giải các phương trình sau: $\sqrt{x-1}+\sqrt{7 x+1}=\sqrt{14 x-6}$. $x^2-x-4=2 \sqrt{x-1}(1-x)$. $9 x^2=\left(x^2+x-5\right)\left(\sqrt{3 x+1}-1\right)^2$. Bài 4.   Cho các số thực dương $x$, $y$, $z$ thoả mãn $x+y+z=3$. Chứng minh rằng $$\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x} \leq 3 \sqrt{2} .$$ Cho các số thực dương $a$, $b$,
Đọc thêm