Đề ôn tập số 8

Một số bài toán ôn tập HSG Toán cấp Tỉnh (Phú Yên, 2022 - 2023)

Bài 1. Giải phương trình $\sqrt{x-1}+\sqrt{11-x}=1+\sqrt{12 x-x^2-11}$.

Bài 2. Cho các số $x$, $y$, $z$ khác $0$ sao cho $x+y+z=0$. Tính giá trị của biểu thức $$A=\frac{x^2+y^2-z^2}{2 x y}+\frac{y^2+z^2-x^2}{2 y z}+\frac{z^2+x^2-y^2}{2 z x}.$$

Bài 3. Tìm các số nguyên dương $a$, $b$, $c$ biết $(a+b+c)(a b+b c+c a)-a b c=60$ và trong ba số đó chỉ có duy nhất một số chẵn.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$, $A'B'C'$ theo thứ tự có các đường phân giác trong $AD$, $A'D'$. Chứng minh rằng đẳng thức $\dfrac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}=\dfrac{A C}{A^{\prime} C^{\prime}}=\dfrac{A D}{A^{\prime} D^{\prime}}$ xảy ra khi và chỉ khi hai tam giác $ABC$, $A'B'C'$ đồng dạng. 

Bài 5. Cho bốn số nguyên dương $m$, $n$, $p$, $q$ thoả điều kiện $m^3=2 p^3$, $n^3=5 q^3$. Chứng minh rằng tổng $m+n+p+q$ là một hợp số.

Bài 6. Rút gọn biểu thức $P=(3+2 \sqrt{3}) \sqrt{7-4 \sqrt{3}}-\sqrt[3]{15 \sqrt{3}-26}$.

Bài 7. Cho $a$, $b$, ${c}$ là các số thực dương thoả mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2$. Chứng minh rằng

$$\sqrt{9 a+6 \sqrt{a b}+b}-\sqrt{\frac{(2 \sqrt{a}+\sqrt{b c})(2 \sqrt{b}+\sqrt{c a})}{2 \sqrt{c}+\sqrt{a b}}}=2 \sqrt{a} .$$

Bài 8. Giải phương trình $2 x^2+6 x+5=(2 x+5)\left(\sqrt{x^2+3 x+4}-1\right)$.

Bài 9. Giải phương trình $x^4+2 x^3-10 x^2-10 x-3=y^2$ với $x$, $y$ nguyên.

Bài 10. Cho tam giác $A B C$ có trung tuyến ${AD}$, đường cao ${BH}$, phân giảc ${CE}$ đồng quy vả ${BC}=a$, ${AC}=b$, ${AB}=c$. Chứng minh rằng $(a+b)\left(a^2+b^2-c^2\right)=2 a b^2$.

Bài 11. Cho tam giác ${ABC}$ nhọn các đường cao ${BE}$, ${CF}$ cắt nhau ở ${H}$. Chứng minh rằng $\dfrac{{AH}}{{BC}}+\dfrac{{BH}}{{AC}}+\dfrac{{CH}}{{AB}} \geq \sqrt{3}$.

Bài 12. Cho $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$ lá các số dương thoả mãn $x y z=a x+b y+c z$. Chứng minh rằng

$$\frac{x+y+z}{\sqrt 3} \ge \frac{\sqrt{(4a+b+c)(b+c)}+\sqrt{(4b+c+a)(c+a)} + \sqrt{(4c+a+b)(a+b)}}{2\sqrt{a+b+c}}.$$

Bài 13. Cho đa thức $P(x)=x^3+2 x^2+3 x+4$ và đa thức $Q(x)=x^3-5 x^2+10 x-10$. Biết $x=a$ là một nghiệm của $P(x)$ và $x=b$ là một nghiệm của $Q(x)$. Chứng minh rằng $a+b=1$.

Bài 14. Với các số thực không âm $a$, $b$, $c$ thoả mãn $a+b+c=3$, tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $$T=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}.$$

Bài 15. Tìm tất cả số nguyên $n$ để giá trị của biểu thức $K=4^{n^2}+2^{n^2+2}-5$ là một số nguyên tố.

Bài 16. Cho $x$, $y$ là các số nguyên thoả mãn $x^2+x y+y^2$ chia hết cho $10$. Chứng minh $x^2+x y+y^2$ chia hết cho $100$.

Bài 17. Cho tam giác $A B C$ nhọn, không cân (với $A B<A C$). Các đường cao $A D$, $B E$, $C F$ của tam giác $A B C$ đồng quy tại trực tâm $H$. Gọi $M$ là trung điểm của $B C$ và $I$ là trung điểm của $A H$.

1. Chứng minh rằng $\widehat{I E M}=90^{\circ}$.
2. Đường thẳng qua $I$ và vuông góc với $H M$ cắt $H M$, $E F$ lần lượt tại $N$, $S$. Đoạn thẳng $I M$ cắt $E F$ tại $J$. Chứng minh $I J \cdot I M=I N \cdot I S$ và $S H$ song song với $B C$.
3. Đường thẳng $S I$ cắt $A B$, $A C$ lần lượt tại $P$, $Q$. Chứng minh rằng $I$ là trung điểm của $P Q$.

Bài 18. Cho các số thực ${a}$, ${b}$, ${c}$ thoả mãn ${a}+{b}+{c}=2025$ và $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{2024}{2025}$. Tính giá trị của biểu thức $$P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}.$$

Bài 19. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $\sqrt{x+y+3}+2=\sqrt{x y}$.

Bài 20. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $9^n+11$ là tích của $k$ ($k \in \mathbb N$, $k \geq 2$) số tự nhiên liên tiếp.

Bài 21. Cho tam giác ${ABC}$ vuông tại ${A}$ (với ${AB}<{AC}$). Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác ${ABC}$, tiếp xúc với các cạnh ${BC}$, ${CA}$, ${AB}$ lần lượt tại ${D}$, ${E}$, ${F}$. Gọi ${S}$ là giao của ${Al}$ và ${DE}$.

1. Chứng minh tam giác $IAB$ đồng dạng với tam giác $EAS$.
2. Gọi ${K}$ là trung điểm của ${AB}$; $O$ là trung điểm của ${BC}$. Gọi ${M}$ là giao của ${KI}$ và ${AC}$. Đường thẳng chứa đường cao ${AH}$ của tam giác ${ABC}$ cắt đường thẳng ${DE}$ tại $N$. Chứng minh ba điểm $K$, $O$, $S$ thẳng hàng và $A M=A N$.
3. Gọi ${P}$, ${Q}$ la giao của ${FD}$ với ${AI}$ và ${CI}$; $J$ là trung điểm của ${AC}$. Chứng minh rằng bốn điểm ${A}$, ${Q}$, ${P}$, ${C}$ cùng nằm trẻn một đường tròn.