Toluen 09

Đề thi HSG Toán 9 tỉnh Phú Yên (năm học 2021 - 2022) Câu 1 (3,00 điểm) . Cho biểu thức $P=\left(\dfrac{2 x+\sqrt{x}-1}{1-x}+\dfrac{2 x \sqrt{x}+x-\sqrt{x}}{1+x \sqrt{x}}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}-1\right)$. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức $P$. Tìm $x$ thoả mãn $\sqrt{\dfrac{1}{P}-\sqrt{x}}=\frac{1}{2}$. Câu 2 (3,00 điểm) . Giải phương trình $x+\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\dfrac{1}{4}}}=1$. Câu 3 (3,00 điểm) . Cho $x$, $y$, $z$ là các số thực thoả mãn $x+y+z=0$. Chứng minh rằng $$\frac{\left(x y+2 z^2\right)\left(y z+2 x^2\right)\left(z x+2 y^2\right)}{\left(2 x y^2+2 y z^2+2 z x^2+3 x y z\right)^2}=-1.$$ Câu 4 (4,00 điểm) . Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$, đường cao $A H$. Trên cạnh $A C$ lấy điểm $D$ sao cho $A C=3 A D$; trên tia đối của tia $H A$ lấy điểm $E$ sao cho $H A=3 H E$. Gọi $F$ là giao điểm của $E D$ và $B C$. Tính tỉ số $\dfrac{H F}{H C}$. Chứng minh rằng $\dfrac{D C}{D F}=\sqrt{\dfrac{B C}{B F}}$. Câu 5 (4,00 điểm) . Cho tam giác nh...

Đề HSG Toán thành phố Tuy Hoà, năm học 2022 - 2023 Bài 1.  Rút gọn biểu thức $P=\dfrac{1+2x}{1+\sqrt{1+2x}} + \dfrac{1-2x}{1-\sqrt{1-2x}}$ khi $x=\dfrac{\sqrt 3}{4}$. Tìm độ dài hai đường chéo của hình thoi có cạnh bên $25$, tổng hai đường chéo bằng $70$. Bài 2. Chứng minh rằng $n^2+n+2$ không chia hết cho $15$ với $n\in \mathbb{N}$. Cho $a$, $b$ là các số thực phân biệt sao cho $ab\ne -1$ và $\dfrac{1}{1+a^2} + \dfrac{1}{1+b^2} = \dfrac{2}{1+ab}$. Tính giá trị biểu thức $T=\dfrac{1}{1+a^2} + \dfrac{1}{1+b^2} + \dfrac{2}{1+ab}$. Bài 3. Giải phương trình $\sqrt{3x+1} - \sqrt{6-x} +3x^2-14x-8=0$. Bài 4. Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, đường cao $AH$. Lấy $D$ thuộc tia đối tia $AB$, $DH$ cắt $AC$ tại $E$. Lấy điểm $F$ thuộc đoạn $EC$ sao cho $\widehat{EHF}=45^\circ$. Chứng minh rằng $DH$ là phân giác góc $\widehat{BDF}$. Chứng minh rằng $AF+CE\ge BC$. Bài 5. Cho nửa đường tròn $(O)$, đường kính $AB$, điểm $C$ thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại $A$, $C$ cắt nhau tại $M$. Đườ...

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG Toán 9 Bài 1. Giải phương trình $$\dfrac{x+3}{x^2+6 x}+\dfrac{x+5}{x^2+10 x+16}=\dfrac{x+2}{x^2+4 x+3}+\dfrac{x+6}{x^2+12 x+35}.$$ Bài 2. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$, điểm $D$ trên cạnh huyền $B C$ ($D$ khác $B$, $C$). Gọi $E$ là điểm đối xứng với $D$ qua $A B$ và $G$ là giao điểm của $A B$ với $D E$. Từ giao điểm $H$ của $A B$ với $C E$, hạ đoạn thẳng $H I$ vuông góc với $B C$ tại điểm $I$. Các tia $C H$ và $I G$ cắt nhau tại điểm $K$. Gọi $F$ là điểm đối xứng của $D$ qua $A C$. Chứng minh rằng khi $D$ di dộng trên cạnh $B C$ thì đường thẳng $E F$ luôn đi qua một điểm cố định. Chứng minh rằng $B K \perp C E$. Chứng minh rằng tia $K C$ là tia phân giác của góc $\widehat{A K I}$. Bài 3. Cho các số thực $a$, $b$, $c$ thoả mãn $$\sqrt{a+b+c-5}+\sqrt{5(a b+b c+c a)-a b c}=0.$$ Tính giá trị biểu thức $$P=a^{2023}+b^{2023}+c^{2023}.$$ Bài 4. Giải phương trình $$x^2-20 x+24+8 \sqrt{3(x-1)}=0.$$ Bài 5. Tìm các số nguyên $x$, $y$ th...

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG Toán 9 Bài 1.   Cho $x$, $y$ là các số không âm thoả mãn $x+y=4$. Chứng minh rằng $x^2 y^2 \left(x^2+y^2\right) \le 128$ . Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thoả mãn $a b c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$A=\frac{a}{2 a^2+b^2+3}+\frac{b}{2 b^2+c^2+3}+\frac{c}{2 c^2+a^2+3}.$$ Cho $x$, $y$ là các số thực dương thoả mãn $x+y\ge 6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $$T=\sqrt{19+x^2 y^2} \cdot\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right).$$ Bài 2. Chứng minh rằng nếu $a$ là số nguyên tố lớn hơn $5$ thì $a^{2020}-1$ chia hết cho $240$.  Tìm các số nguyên $x$ sao cho $A=x(x-1)(x-7)(x-8)$ là một số chính phương. Bài 3. Giải các phương trình sau: $\sqrt{x-1}+\sqrt{7 x+1}=\sqrt{14 x-6}$. $x^2-x-4=2 \sqrt{x-1}(1-x)$. $9 x^2=\left(x^2+x-5\right)\left(\sqrt{3 x+1}-1\right)^2$. Bài 4.   Cho các số thực dương $x$, $y$, $z$ thoả mãn $x+y+z=3$. Chứng minh rằng $$\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x} \leq 3 \sqrt{2} .$$ Cho các...

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi chọn HSG Toán 9  Bài 1. Cho tam giác $A B C$ có $A B=c$, $B C=a$, $C A=b$ và nửa chu vi là $p$. $D$ là điểm trên cạnh $B C$ sao cho bán kính hai đường tròn nội tiếp các tam giác $A B D$ và $A C D$ bằng nhau. Chứng minh rằng $A D=\sqrt{p(p-a)}$.  Bài 2. Cho tam giác $A B C$ ngoại tiếp $(O)$ có $A B=c$, $B C=a$, $C A=b$. Gọi $D$, $E$, $F$ là tiếp điểm của $A B$, $B C$, $C A$ vơi $(O)$. $ED$ và $E F$ cắt đường thẳng qua $A$ song song với $B C$ tại $G$ và $H$. Tính $\dfrac{D C}{D E}$ theo $a$, $b$, $c$. Chứng minh rằng $GF$, $HD$ và $EO$ đồng quy. Biết $EO$ cắt $GH$ tại $Q$, chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác $D F Q$ thuộc $(O)$. Bài 3. Cho tam giác $A B C$ nhọn, các đường cao ${BE}$ và ${CF}$ cắt nhau tại ${H}$. Trên tia đối của tia ${EB}$ lấy điểm ${P}$, trên tia đối của tia ${FC}$ lấy điểm ${Q}$ sao cho $\widehat{A P C}=\widehat{A Q B}=90^{\circ}$. Chứng minh rằng tam giác $A P Q$ cân tại ${A}$. Gọi ${I}$ là trung điểm của ...

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG Toán 9 Bài 1. Giải phương trình  $x^2+3 x=(x+3) \sqrt{x^2+1}-1$.  Bài 2.   Cho $a$, $b$ là số hữu tỉ dương thoả mãn  $$\left(a^2+b^2-2\right)(a+b)^2+(1-a b)^2=-4 a b.$$  Chứng minh rằng $\sqrt{1+a b}$ là số hữu tỉ. Bài 3.   Với $a$, $b$ là các số nguyên, chứng minh rằng nếu $4 a^2+3 a b-11 b^2$ chia hết cho $5$ thì $a^4-b^4$ chia hết cho $5$. Bài 4.   Cho hình vuông $A B C D$ điểm $N$ trên cạnh $A B$. Gọi $E$ là giao điểm của $C N$ và $DA$. Kẻ tia ${Cx}$ vuông góc với ${CE}$ cắt ${AB}$ tại ${F}$, ${M}$ là trung điểm của đoạn thẳng ${EF}$.  Chứng minh rằng $CE=CF$ và $\widehat{ACE}=\widehat{BCM}$. Chứng minh rằng khi điểm ${N}$ di chuyển trên cạnh ${AB}$ (${N}$ không trùng với ${A}$ và ${B}$) thì ${M}$ chuyển động trên một đường thẳng cố định. Bài 5.  Cho $x$, $y$ là các số thực dương thay đổi thoả mãn $x+y \leq 1$. Chứng minh rằng $$8\left(x^4+y^4\right)+\frac{1}{x y} \geq 5.$$ Bài 6. ...

Một số bài toán ôn tập chuẩn bị cho kì thi HSG Toán 9 Bài 1. Cho biết $n=\dfrac{\sqrt 5 - 1}{2}$ và $x=\left(n^{11}+n^{10} -n^9+1\right)^{2022}+\dfrac{\left(n^2+n-4\right)^{2022}}{n^{15}+n^{14}-n^{13}+3^{2022}}$. Tính giá trị của biểu thức $$H=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{x-\sqrt{x}+1}{2 \sqrt{x}-x}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{x-5}{x-\sqrt{x}-2}\right).$$ Bài 2. Giải phương trình $\dfrac{x^2}{2+\sqrt{4-x^2}}+\dfrac{1}{8-4 \sqrt{4-x^2}}=1$. Bài 3.  Cho các số dương $a$, $b$, $c$ thay đổi nhưng luôn thoả mãn ${a}+{b}+{c}=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  $$T = \dfrac{1}{2+4a} + \dfrac{1}{3+9b} + \dfrac{1}{6+36c}.$$ Bài 4. Tìm các số nguyên $x$, $y$ thoả mãn $5 x^2+2 y^2 \leq 2 x y+4 x+2 y$. Bài 5.  Tìm tất cả các số nguyên tố ${p}$ có dạng ${p}={a}^2+{b}^2+{c}^2$, trong đó ${a}$, ${b}$, ${c}$ là các số nguyên dương thoả mãn $\left({a}^4+{b}^4+{c}^4\right)$ chia hết cho ${p}$. Bài 6.  Cho hình vuông $MNPQ$...